Reifendruck – belastet oder unbelastet?

In losen Abständen schaue ich immer noch gelegentlich ins Monstercafe hinein, weil dort selten, aber doch ab und zu noch Fragen aufgeworfen werden welche ich interessant finde.

So fragte neulich jemand, ob es einen Unterschied ausmache, den Luftdruck bei Motorradreifen unbelastet (z.B. durch Aufbocken mittels Hauptständer) oder durch Eigengewicht und/oder Sozia belastet einzustellen. Der Fragesteller schien ehrlich an einer ernsthaften Antwort interessiert, dürfte aber inzwischen seine Erwartungshaltung an die kollektive Kompetenz der im Monstercafe versammelten Teilnehmer deutlich nach unten angepasst haben. Wer will, kann das Niveau, auf dem einige Teilnehmer sich zu dieser Frage äusserten, im Original hier nachlesen.

Aber ergibt sich nun ein Unterschied oder nicht?

Mein Ansatz:

• Die Lauffläche(!) des Zweiradreifens wird im gedanklichen Modell durch einen Torus angenähert:

• Unter Belastung verformt sich der Aufstandspunkt zwischen Torus und Ebene zu einer näherungsweise elliptischen Aufstandsfläche.

• Die Grösse der Aufstandsfläche ergibt sich als Quotient von Radlast dividiert durch Reifeninnendruck.
• Bei Kenntnis der Reifen- (bzw. Torus-) geometrie lässt sich aus der Grösse der elliptischen Aufstandsfläche die Tiefe der Abplattung berechnen.
• Aus der Tiefe der Abplattung und Grösse der Aufstandsfläche lässt sich das Volumen berechnen, bzw. abschätzen, um das das Torusvolumen unter Last reduziert wird.
• Die relative Volumenreduktion (Volumenänderung durch Abplattung, bezogen auf das ursprüngliche Volumen) ist die obere Grenze der relativen Druckerhöhung im Reifen.

Für die Reifendimension 190/55-17 und eine Radlast von 1’500 Newton am Beispiel des Hinterrads meiner Monster 1200S komme ich auf eine Druckerhöhung bei Belastung um ca. 3‰ (Promille), d.h.: bei einem angenommenen Reifendruck von 2.5 bar um ca. 7.5 mbar oder auch 0.0075 bar.

Vorläufiges Fazit:

• Unter Belastung erhöht sich der Innendruck im Reifen gegenüber dem Ausgangsdruck im unbelasteten Zustand.
• Die Druckerhöhung ist im für Biker relevanten Bereich derart minimal, dass sie keinerlei praktische Bedeutung aufweist, und wohl nur mit Labormessgeräten nachweisbar sein dürfte.

Detaillierte Herleitung

Modellierung

Die Modellierung der Reifenaufstandsfläche als Teil einer Torusoberfläche bringt einen vernachlässigbar kleinen Fehler mit sich, da ein typischer Reifenquerschnitt in dem Bereich der Lauffläche, der beim Messen oder Einstellen des Luftdrucks Bodenkontakt hat, näherungsweise kreisförmig ist:

Reifenaufstandsfläche

Da der Luftreifen elastisch ist, wird der Torus an seinem Kontaktpunkt mit der Ebene unter Last abgeplattet. Es bildet sich eine Aufstandsfläche, der sogenannte Latsch. Dessen Grösse wird in einschlägigen Publikationen in der Grössenordnung einer Kreditkarte angesiedelt.

Die tatsächliche Grösse der Aufstandsfläche ergibt sich für einen konkreten Belastungsfall (Radlast, Reifendruck etc.) aus einer Gleichgewichtsbetrachtung: die Theorie für vergleichsweise dünnwandige Motorradreifen besagt, dass die Radlast alleine durch die Grösse der Aufstandsfläche mal von innen angreifendem Reifenluftdruck aufgefangen wird und die Reifenflanken keine Last tragen. Bei einer angenommenen (Hinter-)Radlast von 1’100 Newton für eine leere Monster 1200S plus anteiliger Fahrerlast von 400 Newton ergibt sich eine Gesamt-Radlast von 1’500 Newton. Ein angenommener Reifenluftdruck von 2.5 bar (= 25 N/cm²) resultiert in einer Aufstandsfläche von 60 cm² für die Aufnahme der o.a. Radlast.

Die Form der Reifenaufstandsfläche wird vereinfachend als perfekte Ellipse angenommen. Tatsächlich handelt es sich bei den Schnittkurven zwischen Torus und einer parallel zur Rotationsachse verlaufenden Ebene um sogenannte Spirische Kurven. Die Unterschiede zu einer mathematisch exakten Ellipse sind aber für Abplattungen ≤ Rohrradius des Torus vernachlässigbar.

Die Grösse der Reifenaufstandsfläche berechnet sich als Produkt aus PI * grosse Halbachse der Ellipse * kleine Halbachse der Ellipse. Die Abplattung ist für Längs- und Querrichtung des Reifens gleich gross (Länge der violetten Linie, siehe folgende Illustration):

Die eingezeichneten Ellipsenachsen stellen jeweils Sehnenabschnitte von Kreiskonturen dar. Deren Länge lässt sich mit einer einfachen Formel in Anhängigkeit von Kreisradius und Abplattung berechnen. Ich habe mir dazu eine kleine Excel-Tabelle aufgesetzt und solange den Wert der Abplattung variiert, bis sich eine Ellipsenfläche von 60 cm² ergab. Ich benötige für eine Ellipsenfläche von 60 cm² bei den verwendeten Torus-Radien R =215 mm und r = 100 mm eine Abplattung von rund 0.67 cm.

Verlorenes Reifenvolumen

Grosszügigerweise nehme ich an, dass das in der Abplattung ursprünglich vorhandene Volumen vollständig vom ursprünglichen Torusvolumen abzuziehen ist, und nicht durch Ausdehnung des Reifens an anderer Stelle teilweise kompensiert wird. Für die Berechnung des durch Abplattung verlorenen Volumens habe ich mich der verlinkten Abschätzung bedient, die ich auf math.stackexchange.com gefunden hatte. Der Autor gibt an, dass die Abweichung zwischen seiner Abschätzung und dem exakten Wert für Abplattungen ≤ Rohrradius des Torus weniger als 10% beträgt. Diese Voraussetzung liegen hier eindeutig vor.

Für eine Reifenaufstandsfläche von 60 cm² und eine Abplattung von 0.67 cm erhalte ich so ein durch Abplattung «verlorenes» Volumen von rund 33 cm³.

Relative Volumenänderung

Mit meinen angenommenen Torusabmessungen R = 215 mm und r = 100 mm erhalte ich ein Ausgangsvolumen für den nicht abgeplatteten Torus von rund 42’400 cm³. Die durch Abplattung erfolgte Volumenverringerung um 33 cm³ entspricht knapp 0.8 Promille des Ausgangsvolumens.

Druckänderung

Da der Reifen dicht ist und die im Reifen eingeschlossene Luftmasse infolge Abplattung unverändert bleibt, erhöht sich der Innendruck infolge der Kompression unter Belastung gemäss dem Gesetz von Boyle-Mariotte im gleichen Verhältnis: das Produkt aus Druck mal Volumen bleibt konstant. Somit hat eine Volumenreduktion um 0.8 Promille eine Druckerhöhung von ebenfalls 0.8 Promille des Ausgangswerts zur Folge.

Fehlerbetrachtung

Ich verwende in meinen Betrachtungen eine Reihe von Annahmen, die mehr oder weniger stark von den tatsächlichen Verhältnisse abweichen können. Die Schlüsse, die ich ziehe, sind demzufolge mit Unsicherheit behaftet.

• Die offensichtlichste Fehlannahme mache ich natürlich bei der Modellierung des gesamten Motorradreifens durch einen Torus. Niemand fährt mit so einem Schubkarren-Ballonreifen herum. Dieser Fehler wirkt sich aber nicht auf die Berechnung der Reifenaufstandsfläche und/oder Abplattung aus, da der Querschnitt durch die Lauffläche eines Motorradreifens für den vorliegenden Zweck durchaus durch eine Kreisform angenähert werden kann.

Erhebliche Auswirkungen ergeben sich allerdings für das Ausgangsvolumen des unbelasteten Reifens. Erhalte ich bei Annahme einer Torusform noch ein Ausgangsvolumen von satten 42.4 Litern, so schrumpft das tatsächliche Volumen eines unbelasteten Hinterreifens der Dimension 190/55-17 laut Berechnungsvorschrift der ETRTO (European Tyre and Rim Technical Organisation) auf vergleichsweise schlanke 10.6 Liter, also nur noch ein Viertel. Wegen der derart geschrumpften Bezugsgrösse vergrössert sich die relative Volumen- bzw. Druckänderung von 0.777 Promille auf nun ziemlich genau 3.0 Promille.

• Auch wenn ich der geballten auf stackexchange.com versammelten Kompetenz regelmässig grossen Respekt entgegen bringe, so habe ich in diesem Fall doch Zweifel an der Güte der Abschätzung, die für das Volumen eines Torusabschnitts abgegeben wurde. Und zwar denke ich, dass der angegebene (abgeschätzte) Wert von 33 cm³ zu gross ist. Dies folgt aus folgender Betrachtung:

Wenn man die Reifenaufstandsfläche als Kreisfläche annimmt (noch eine Annahme) und einen Schnitt senkrecht durch den Kreismittelpunkt vornimmt, dann ist ersichtlich, dass der Kugelabschnitt (rot-weiss + grün) mehr Volumen aufweist als ein Kegel (grün), jedoch weniger als ein Zylinder (blau + rot-weiss + grün). Zwischen beiden Werten liegt irgendwo die Wahrheit. Da tatsächlich eine ellipsenförmige Aufstandsfläche vorliegt, mit grosser und kleiner Halbachse, verwende ich als Radius einer quasi-äquivalenten Kreisfläche denjenigen, der eine gleich grosse Aufstandsfläche von 60 cm² ergibt, nämlich 4.37 cm.

Für den Kegel erhalte ich so ein Volumen von 13.4 cm³, für den Zylinder eines von 40.2 cm³. Mit dieser Formel für V_h,a erhalte ich ein Volumen des Kugel- bzw. Torusabschnitts von 20.2 cm³, was mir deutlich realistischer erscheint als die oben abgeschätzten 33 cm³.

Jedenfalls kann man festhalten, dass der Wert von 33 cm³ eine obere Grenze des Volumenverlusts durch Abplattung darstellt, und somit der Druckanstieg höchstens(!) den genannten 3 Promille entspricht.

• Weiterhin ist es unrealistisch anzunehmen, dass der Reifen zwar im Bereich der Aufstandsfläche elastisch, jedoch im übrigen völlig starr ist. Tatsächlich würde ein – wenn auch nur kleiner – Druckanstieg im Reifen zu einer ähnlich kleinen Ausdehnung des Reifens führen, wodurch der Druckanstieg teilweise verringert würde. Auch dieser Aspekt ist eine Abschätzung zur sicheren Seite hin, so dass der tatsächliche Druckanstieg auch aus diesem Grund kleiner als 3 Promille des Ausgangsdrucks sein dürfte.

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Bei einem unbelasteten Reifen mit Fülldruck 2.5 bar würde sich aus all diesen Gründen unter Belastung durch Maschine und Fahrer eine Druckerhöhung um maximal(!) 3 Promille des Ausgangsdrucks einstellen, entsprechend höchstens(!) 7.5 mbar oder 0.0075 bar.

Auch diesen Unterschied dürfte man weder an öffentlichen Tankstellen messen, noch mit dem «Popometer» spüren können.