{"id":13719,"date":"2024-07-12T16:00:49","date_gmt":"2024-07-12T14:00:49","guid":{"rendered":"https:\/\/vielzutun.ch\/wordpress\/?p=13719"},"modified":"2024-07-18T06:48:28","modified_gmt":"2024-07-18T04:48:28","slug":"jarne-dynamik","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vielzutun.ch\/wordpress\/?p=13719","title":{"rendered":"\u00abJarne\u00bb Dynamik"},"content":{"rendered":"\n

In meinem vorigen Beitrag hatte ich bereits verhaltene Kritik<\/a> ge\u00e4ussert an der schlichten Konstruktion der Kurvenscheibenkontur aus Kreisb\u00f6gen und Geradenabschnitten mit jeweils tangentialen \u00dcberg\u00e4ngen zwischen benachbarten Kontursegmenten.<\/p>\n\n\n\n

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Kurvenscheibe aus Geradenabschnitten und Kreisb\u00f6gen: aussen hui – innen …<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Nachdem ich das Problem der Schwingwinkelberechnung des Exzenterhebels (siehe voriger Beitrag<\/a>) schliesslich gel\u00f6st und die L\u00f6sung in die entstehende \u00abJarne\u00bb-Animation<\/a> integriert hatte, hatte ich rein visuell bereits den vagen Eindruck einer gewissen Asymmetrie im Bewegungsablauf gewonnen. Aber wie kann das sein? Schliesslich ist die Kurvenscheibe von \u00abJarne\u00bb dem \u00e4usseren Anschein nach vollkommen symmetrisch aufgebaut:<\/p>\n\n\n\n

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\u00abJarne\u00bb Kurvenscheibe: kann diese Symmetrie tr\u00fcgen?<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Zun\u00e4chst einmal: ich habe die Kurvenscheibe nach Vermessung und visueller Einsch\u00e4tzung so nachkonstruiert, dass sie in meinem 3D-Modell tats\u00e4chlich symmetrisch ist<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Die beobachtete Asymmetrie r\u00fchrt daher, dass das «abtastende Glied», der Exzenterhebel mit Exzenterdorn, mit einem deutlichen Versatz zur Spiegelsymmetrieebene der Kurvenscheibe angeordnet ist.<\/p>\n\n\n\n

Exzenterdorn und Drehachse des Exzenterhebels weisen einen signifikanten Versatz zur Symmetrieebene der Kurvenscheibe auf.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Kann man einen derartigen Effekt quantifizieren? Man kann! \ud83d\udcaa\ud83d\ude0e<\/p>\n\n\n\n

Da ich den Schwingwinkel des Exzenterhebels in den Grenzen der durch den Computer bzw. die Software vorgegebenen Genauigkeit berechnen kann, und zwar f\u00fcr beliebige Kurbelwellendrehwinkel (und somit Exzenterdrehwinkel), konnte ich mittels Differenzenquotienten auch die Schwingwinkelgeschwindigkeit<\/strong> in der Einheit [Schwingwinkel\u00e4nderung pro Grad Kurbelwinkel\u00e4nderung] berechnen. Zus\u00e4tzlich dann mit der gleichen Methode die Schwingwinkelbeschleunigung<\/strong> in der Einheit [\u00c4nderung der Schwingwinkelgeschwindigkeit pro Grad Kurbelwinkel\u00e4nderung] berechnen. Da Excel nur eine (1) prim\u00e4re und eine (1) sekund\u00e4re Werteachse erm\u00f6glicht und ich aber drei Kurven gleichzeitig anzeigen m\u00f6chte, habe ich die Beschleunigungswerte um einen Faktor 10 hochskaliert, so dass deren Wertebereich danach gut in die Skala f\u00fcr die Winkelgeschwindigkeit (rechts) passt. Das Ergebnis sieht wie folgt aus:<\/p>\n\n\n\n

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Schwingwinkel (blau) formelm\u00e4ssig, Winkelgeschwindigkeit (gr\u00fcn) und Winkelbeschleunigung (rot) mittels Differenzenquotienten berechnet<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Hinweis zum obigen Diagramm:<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Bei Blick auf die Nutseite dreht sich die Kurvenscheibe im (mathematisch negativen!) Uhrzeigersinn, wie in der vorstehenden 2D-Animation<\/a> gezeigt. Daher ist im obigen Diagramm eine vollst\u00e4ndige Kurvenscheibenumdrehung von rechts 0\u00b0<\/strong> nach links -360\u00b0<\/strong> abgebildet. Das Diagramm muss folglich von rechts nach links gelesen werden<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Der Schwingwinkel, blaue Kurve, spiegelt den durch die Kurvenscheibe vorgegebenen Rast-in-Rast Verlauf wider. Die beiden Rasten sind als horizontale Abschnitte im blauen Kurvenverlauf klar ersichtlich. Auf den ersten Blick erscheint der Kurvenverlauf fl\u00fcssig und symmetrisch.<\/p>\n\n\n\n

Der Verlauf der Winkelgeschwindigkeit (gr\u00fcn) zeigt jedoch bereits sechs markante Knickpunkte<\/strong>, und zwar jeweils bei den Verdrehwinkeln der Kurvenscheibe, an denen der Kontaktpunkt des Exzenterdorns von einem Konturelement (Gerade, Kreisbogen) zum benachbarten Konturelement wechselt. Grund hierf\u00fcr sind unstetige, d.h.:sprunghafte Wechsel im Grad der Kr\u00fcmmung benachbarter Konturelemente (Gerade, Kreisb\u00f6gen unterschiedlicher Radien).<\/p>\n\n\n\n

Ausgehend von einer exakt horizontalen unteren Geraden (\u2259 0\u00b0, siehe einleitende Grafik) sind dies die folgenden Verdrehwinkel:<\/p>\n\n\n\n

Verdrehwinkel, ca. [\u00b0]<\/strong> <\/td>Ereignis<\/strong><\/td><\/tr>
-9\u00b0<\/td>\u00dcbergang zwischen kleinem (innen)-Radius zur unteren Geraden<\/td><\/tr>
-45\u00b0<\/td>\u00dcbergang von der unteren Geraden zum unteren \u00dcbergangsradius<\/td><\/tr>
-69\u00b0<\/td>\u00dcbergang vom unteren \u00dcbergangsradius zum grossen (aussen)-Radius<\/td><\/tr>
-150\u00b0<\/td>\u00dcbergang vom grossen (aussen)-Radius zum oberen \u00dcbergangsradius<\/td><\/tr>
-177\u00b0<\/td>\u00dcbergang vom oberen \u00dcbergangsradius zur oberen, geneigten Geraden<\/td><\/tr>
-230\u00b0<\/td>\u00dcbergang von der oberen, geneigten Geraden zum kleinen (innen)-Radius<\/td><\/tr><\/tbody><\/table>
Markante Verdrehwinkel f\u00fcr Jarne’s Kurvenscheibe<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Knicke im Schwingwinkelgeschwindigkeitsverlauf (gr\u00fcn) entsprechen Spr\u00fcngen(!) im Schwingwinkelbeschleunigungsverlauf (rot). Technisch\/physikalisch spricht man in derartigen F\u00e4llen von einem Ruck<\/a> – einer sprunghaften<\/strong> \u00c4nderung der Beschleunigung.<\/p>\n\n\n\n

What goes up, must come down!<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Ein Kurvenscheibenantrieb ist immer daf\u00fcr gemacht, eine wiederkehrende, periodische Bewegung des Abtriebs zu erzeugen. Nach einer vollen Umdrehung der Kurvenscheibe befindet sich der angetriebene Mechanismus im gleichen Zustand wie vor der Kurvenscheibendrehung (Schrittgetriebe<\/a> einmal ausgenommen). Im vorliegenden Fall – Jarne’s Kurvenscheibe – bedeutet dies, dass der Exzenter-Schwinghebel bei jedem Kurvenscheibenumlauf einen vollen Winkelhub aufw\u00e4rts, und einen betragsm\u00e4ssig gleich grossen Hub abw\u00e4rts ausf\u00fchrt.<\/p>\n\n\n\n

Wegen der asymmetrischen, versetzten Abtastung der Kurvenscheibe stehen aber f\u00fcr den Abw\u00e4rtsschwung des Schwinghebels nur ca. 60\u00b0 <\/strong>Kurbelwellendrehwinkel zur Verf\u00fcgung, w\u00e4hrend f\u00fcr den Aufw\u00e4rtsschwung ca. 80\u00b0<\/strong> Kurbelwellendrehwinkel genutzt werden k\u00f6nnen.<\/p>\n\n\n\n

Es leuchtet unmittelbar ein dass, wenn man die gleiche Strecke (Schwingwinkelintervall) in einer k\u00fcrzeren Zeit (hier: Kurbelwellen-Drehwinkelintervall) absolvieren muss, man eine h\u00f6here Schwingwinkelgeschwindigkeit erreichen muss um «rechtzeitig fertig» zu werden.<\/p>\n\n\n\n

Tats\u00e4chlich wird im relativ kurzen «Abschwung» eine maximale Schwingwinkelgeschwindigkeit von rund 0.77\u00b0 Schwingwinkel \/ \u00b0 Kurbelwinkeldrehung erreicht, w\u00e4hrend es im «Aufschwung» lediglich rund 0.45\u00b0 Schwingwinkel \/ \u00b0 Kurbelwinkeldrehung sind.<\/p>\n\n\n\n

Um in einer k\u00fcrzeren Zeit eine h\u00f6here Geschwindigkeit zu erreichen, muss man zudem eine h\u00f6here Beschleunigung wirken lassen. Im «Abschwung» wird ein (absoluter) H\u00f6chstwert von ca. 0.044 \u00b0Schwingwinkel \/ (\u00b0 Verdrehwinkel)2<\/sup> erzielt. Im «Aufschwung sind es lediglich ca. 0.019 \u00b0Schwingwinkel \/ (\u00b0 Verdrehwinkel)2<\/sup> .<\/p>\n\n\n\n

Mit der Beschleunigung ist es nicht getan: schliesslich soll das Abtriebsglied nicht mit H\u00f6chstgeschwindigkeit gegen einen starren Anschlag fahren, sondern mit Geschwindigkeit Null die gegen\u00fcberliegende Rastposition erreichen. Also muss rechtzeitig und kr\u00e4ftig genug verz\u00f6gert werden. Im «Abschwung» wird etwa 2\/3 des Kurbelwellen-Drehwinkelintervalls f\u00fcr die Beschleunigung verwendet, ein Drittel f\u00fcr die Verz\u00f6gerung. Klar ist damit, dass der Absolutwert der Verz\u00f6gerung mit rund 0.092 in dieser Konstellation mehr als doppelt so hoch ausf\u00e4llt wie die voranggegangene Beschleunigung mit rund 0.044. Da die beiden Werte unterschiedliche Vorzeichen aufweisen, ist die Gr\u00f6sse des Rucks proportional zur Summe beider Absolutwerte, also etwa 0.136.<\/p>\n\n\n\n

In «Aufschwung» entspricht die Gr\u00f6sse des Rucks dementsprechend lediglich etwa 0.029, also weniger als einem Viertel <\/strong>des Werts im «Abschwung». Interessanterweise steht im «Aufschwung» aus Gr\u00fcnden der Symmetrie nur ein<\/strong> Drittel des KW-Winkelintervalls f\u00fcr die Beschleunigung des Abtriebsglieds zur Verf\u00fcgung, jedoch zwei<\/strong> Drittel des KW-Winkelintervalls f\u00fcr die Verz\u00f6gerung. Der Schieber wird also ausgesprochen sanft in seiner Geschlossen-Stellung abgesetzt, w\u00e4hrend er ausgesprochen ruppig in die Ge\u00f6ffnet-Stellung «gerissen» wird.<\/p>\n\n\n\n

Man kann sich die Wirkung des abrupten Wechsels von maximaler Beschleunigung zu maximaler Verz\u00f6gerung etwa so vorstellen, als ob man in einem Sportwagen bei voller Beschleunigung in den Sitz gepresst wird, um dann \u00fcbergangslos bei einer Vollbremsung in den Gurt geschleudert zu werden.<\/p>\n\n\n\n

In einem Mechanismus wie \u00abJarne\u00bb kommt es bei einem derartigen Vorzeichenwechsel der Beschleunigung zu einem «Anlagewechsel», d.h., in allen spielbehafteten Gelenkstellen wechseln die Kontaktstellen der beteiligten Bauteile zur jeweils gegen\u00fcberliegende Seite. Das tr\u00e4gt zumindest zur Ger\u00e4uschentwicklung bei, vermutlich auch zu erh\u00f6hter Bauteilbelastung und Verschleiss.<\/p>\n\n\n\n

Was bringt mir das?<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Vorl\u00e4ufig und in Ermangelung eigener CNC-Fertigungsm\u00f6glichkeiten leider wenig, ausser der Befriedigung meiner intellektuellen Neugierde. Der theoretische weitere Ablauf zur Nutzbarmachung der hier vorgestellten Erkenntnisse w\u00e4re wie folgt:<\/p>\n\n\n\n