Desmo – DIY

In diesem Beitrag stelle ich die Nockenkonstruktion mittels Inverser Kinematik vor und eröffne in Anschluss einen neuen interaktiven Spielplatz – das Desmo Lab! Quasi den Pumptrack für angehende Desmo-Durchblicker 😎

Schnelleinstieg

Mir ist schon klar: nur die Wenigsten lesen gerne lange Fachaufsätze oder Dokumentationen. Daher gibts an dieser Stelle als Schnelleinstieg nur eine grafische Kurz-Übersicht für die ganz Ungeduldigen. Wer nach einer Session im Desmo Lab neugierig geworden ist (also vermutlich: Alle!), ist herzlich eingeladen, danach entsprechend motiviert den weiteren Artikel zu studieren.

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… geht’s jetzt endlich zum Desmo Lab.

Von der Vorwärtskinematik zur Inversen Kinematik

Bei der Erstellung der Testastretta Evoluzione Animation konnte ich auf eine bereits bestehende Konstruktion zurückgreifen, konnte diese vermessen, modellieren und geeignet animieren. Ich habe den Antrieb – die Nockenwelle – schrittweise durchgedreht, die Positionen und Winkellagen der beteiligten Baugruppen ermittelt und diese schließlich in die Animation übertragen. Mit dem Ventil als Abtriebsglied am Ende der kinematischen Kette. Dieses Vorgehen nennt man Vorwärtskinematik.

Der Konstrukteur geht genau umgekehrt vor:

Er gibt die geforderte Abtriebsbewegung, vorliegend eine mathematisch (formelmäßig) beschreibbare Ventilerhebungskurve, als Eingabe in das Abtriebsglied einer kinematische Kette ein, rechnet rückwärts durch diese kinematische Kette und erhält als Ergebnis exakt die Kurvenscheibe, die die gewünschte Bewegung des Abtriebsglieds erzeugt. Das nennt man dann «Inverse Kinematik», und es funktioniert wie folgt:

Bewegungsgesetze

Am Anfang steht eine mathematische Beschreibung der geforderten Bewegung des Abtriebsglieds, hier des Ventils. Bewegungsgesetze kann man sich (sehr stark vereinfacht) als eine Black Box vorstellen: man steckt eine Winkellage hinein und erhält als Ergebnis einen exakt berechneten Ausgabewert, z.B. einen Ventilhub. Diese Black Box kann ein einziges Bewegungsgesetz enthalten (eine einzige Formel), oder sie kann einen ganzen Stapel von Berechnungsformeln für einzelne Winkelintervalle enthalten. In jedem Fall muss eine volle Periode, also das Winkelintervall zwischen [0 .. 2 PI] lückenlos und ohne Überlappungen abgedeckt sein.

Im Fall von abschnittweise verwendeten Formeln müssen diese an jedem Übergang von einem Winkelabschnitt zum nächsten ein paar mathematische Bedingungen erfüllen:

• die Funktionswerte an Abschnittsgrenzen müssen gleich sein
• die Steigungen an Abschnittsgrenzen müssen gleich sein (1. Ableitung)
• die Beschleunigungen an Abschnittsgrenzen (2. Ableitung) sollten gleich sein. Ein Beschleunigungssprung, ein sogenannter «Ruck», begünstigt nämlich die Schwingungsanregung, besonders bei schnelllaufenden Mechanismen.

Ich möchte aber die Bewegungsgesetze nicht zum Schwerpunkt dieses Blog-Beitrags erheben. Wer in die zugehörige Thematik vertieft einsteigen möchte, findet z.B. hier einen wirklich gut strukturierten Ansatzpunkt mit umfangreichem Verzeichnis weiterführender Literatur.

An dieser Stelle merken wir uns: Eingabe eines Winkels => Ausgabe eines Hubs.

Für das Desmo Lab habe ich mich auf eine einzelne, unmodifizierte Cosinus-Funktion als Bewegungsgesetz beschränkt, welche die punktuell messtechnisch ermittelte Ventilerhebungskurve erstaunlich gut annähert – mit Ausnahme der beobachteten Anlauf-und Ablauframpen. Offensichtlich haben sich die Ingenieure bei Ducati an dieser Stelle bereits mehr Mühe gegeben – aber die kriegen ja auch Geld dafür 😉

Kontaktbedingung

Das Ventil wird durch die Ventilführung in seinen Freiheitsgraden bereits stark eingeschränkt. Es kann sich nur axial verschieben oder um seine Längsachse verdrehen. Die Verdrehung macht das Problem weder komplizierter noch einfacher. Sie ist schlicht nicht relevant, und wir können sie ignorieren. Das verwendete Bewegungsgesetz beschreibt demnach zusammen mit Lage und Orientierung der Ventilführung die Position des Ventils für jede einzelne Winkellage (der Nockenwelle) vollständig und mathematisch exakt.

Wir wissen aus der geforderten Funktion des Ventiltriebs, daß auf dem Ende des Ventilschafts spielfrei der Öffner-Shim sitzt, und daß der Öffner-Schlepphebel (jedenfalls während der Öffnungsphase des Ventils) spielfrei auf dem Shim aufliegt. Die Kontaktbedingung beinhaltet genau das: der Öffner-Schlepphebel soll immer spielfrei auf dem Öffner-Shim aufliegen.

Wir erinnern uns, daß unsichtbar in den Öffner-Schlepphebel eine ventilseitige Schwinge mit kreisförmiger – wenn auch unbeweglicher -Rolle am Ende eingebettet ist:

Aus der Bauteilvermessung sind deren Rollenradius und Schwingenlänge bekannt. Bekannt ist auch, daß die Oberfläche des Öffner-Shims senkrecht zur Ventilachse steht. Im Grunde interessiert nun nicht der Kontaktpunkt zwischen Öffner und Shim, sondern der Mittelpunkt der gedachten Shim-seitigen Rolle im Moment des Kontakts:

Dieser befindet sich im Schnittpunkt von

• einer Parallelen zur Shim-Oberfläche im Abstand «Rollenradius»
• einem Kreisbogen um die (bekannte) Schlepphebelachse mit Radius «Schwingenlänge»

Dieser Schnittpunkt lässt sich sowohl zeichnerisch als auch rechnerisch bestimmen. Daraus lässt sich die Winkellage des Schlepphebels gegenüber der Horizontalen berechnen, wiederum mathematisch exakt.

Damit können wir die Kontaktbedingung auch umformulieren in:

Der Abstand zwischen ventilseitigem Rollenmittelpunkt und der Shim-Oberfläche muss immer exakt gleich dem Rollenradius sein.

Im Schlepphebel ist nicht nur ventilseitig eine Schwinge mit Rolle versteckt, sondern ebenso ein weiterer Rollenschwinghebel in Richtung Öffner-Nocken. Der blau eingezeichnete Kreisbogen in der folgenden Zeichnung ist Teil einer gedachten nockenseitigen Rolle des Öffner-Schlepphebels. Deren Radius und zugehörige Schwingenlänge sind aus der Bauteilvermessung ebenfalls bekannt. Ebenso der Winkel von der ventilseitigen zur nockenseitigen Schwinge, in mathematisch positiver Richtung (im Gegenuhrzeigersinn).

Rollenmittelpunktsbahn

Unter der Annahme, daß es sich beim Öffner-Schlepphebel um ein vollkommen starres Bauteil handelt, ist bei Kenntnis von Hebelachse und Winkellage des Öffner-Schlepphebels auch der Mittelpunkt der nockenseitigen Rolle mathematisch exakt bestimmbar. Und damit sind wir schon so gut wie am Ziel:

Wenn man das beschriebene Verfahren mit genügend vielen verschiedenen Eingangswerten für das verwendete Bewegungsgesetz durchführt, erhält man die Rollenmittelpunktsbahn der nockenseitigen Rolle mit beliebig hoher Genauigkeit. Anschaulich müsste man dazu einen Stift im nockenseitigen Rollenmittelpunkt anbringen, und ein Blatt Papier entsprechend dem Eingangswinkel in das Bewegungsgesetz um die Nockenachse verdrehen. Der Bleistift würde dann die Rollenmittelpunktsbahn auf das Papier aufzeichnen.

Nockenkontur

Aus der Rollenmittelpunktsbahn lassen sich – wiederum mathematisch exakt – Äquidistanten für eine Vielzahl unterschiedlicher Werkzeugdurchmesser berechnen, welche in der numerisch gesteuerten Fertigung einer Nockenwelle (z.B. Fräsen, Schleifen) als Werkzeugbahn genutzt werden können.

Wenn man im Desmo Lab als Abstand der Äquidistanten von der Rollenmittelpunktsbahn den negativen Rollenradius der nockenseitigen Rolle einsetzt, erhält man auf der Innenseite der Rollenmittelpunktsbahn die Kontur der gesuchten Kurvenscheibe für eine Abtastung durch eine aussenliegende Rolle. Bei Wahl des positiven Rollenradius als Abstand von der Äquidistanten erhält man die Kontur einer aussenliegenden (Hohl-) Kurvenscheibe, für eine Abtastung durch einen Rollenschwinghebel mit innenliegender Rolle.

Positionen von Schlepp- und Kipphebelachsen

Die ventilseitig in Schlepp- und Kipphebel eingebetteten Rollen bewegen sich auf Kreisbahnen um ihre jeweiligen Drehachsen, während sich das Ventil entlang einer Geraden bewegt. In der Folge kommt es im Verlauf einer Periode zu einem wechselnden und zwischen Shim-Paket Ober- und Unterseite gegenläufig aussermittigen Kraftangriff der ventilseitigen Rollen auf die Shims.

Das hat folgende Nachteile:

• es entstehen Kippmomente in Shim und Ventil, die erhöhten Verschleiss zwischen Ventil und Ventilführung zur Folge haben.
• die Kraftangriffspunkte wandern während einer Periode quer zur Ventilachse über die Shim-Oberfläche, was zu Reibung, Verschleiss und Reibungsverlusten führt.

Beide Effekte lassen sich minimieren, wenn bei gegebener Schwingenlänge die Achspositionen von Schlepp- und Kipphebel derart gewählt werden, daß die beteiligten Schwingen bei halbem Hub möglichst exakt senkrecht zur Ventilachse stehen, und der unvermeidliche Versatz quer zur Ventilachse hälftig auf beide Seiten der Ventilachse verteilt wird.

Da diese Regel einfach genug zu formulieren (und in Software zu codieren) ist, habe ich sie gleich fix und fertig ins Desmo Lab eingebaut. Für die Positionen der Schlepp- und Kipphebelachsen gibt es daher dort keine UI-Steuerelemente.

Auch den Ingenieuren bei Ducati sind diese Zusammenhänge anscheinend bewusst: Hier die maßstäbliche Zeichnung der untersuchten Situation bei exakt halbem Ventilhub:

Vom vielfältigen Nutzen der Inversen Kinematik

Wir haben gesehen, daß durch Vorgabe formelmäßig darstellbarer Bewegungsgesetze nicht nur eine gewünschte Nockenkontur mit beliebig hoher Genauigkeit bestimmt werden kann, sondern auch jeder Kontakt- bzw. Gelenkpunkt einer zwischengeschalteten kinematischen Kette. Damit hört es aber nicht auf:

Durch Vergleich zweier in einem Winkel- bzw. Zeitschritt aufeinanderfolgender Positionen erhalten wir mittels Differenzenquotienten eine momentane Geschwindigkeit, durch Vergleich zweier aufeinanderfolgender momentaner Geschwindigkeiten eine momentane Beschleunigung. Daraus lassen sich Aussagen über auftretende Kräfte, Lagerreaktionen und benötigte Leistungen ableiten.

Durch je zwei benachbarte Positionen auf der Nockenkontur (oder Rollenmittelpunktsbahn) ist die Neigung einer Tangente an die Bahn bestimmt. Daraus erhält man durch Addition von ±90° einen Normalenvektor, welcher senkrecht zur Bahntangente steht. Dieser wird übrigens auch zur Berechnung einer Äquidistanten benötigt. Durch Berechnung des Schnittpunkts zweier benachbarter Normalenvektoren erhält man den lokalen Krümmungsradius von Rollenmittelpunktsbahn / Kurvenkontur.

Insgesamt wird das dynamische Verhalten einer derartigen Konstruktion so in jeder Hinsicht berechenbar und bewertbar.

Bewertung unterschiedlicher Konstruktionen

Das Desmo Lab bietet 18 individuelle Eingriffsmöglichkeiten alleine für die Beeinflussung der beteiligten Kinematik. Damit eröffnet sich eine unendliche Vielzahl von gültigen Lösungen, nämlich Paaren konjugierter Kurvenscheiben, welche alle spielfrei und desmodromisch ein Ventil gemäß dem vorgegebenen Bewegungsgesetz zu führen in der Lage sind.

Da kann man sich schon einmal am Kopf kratzen und sich fragen, welches denn die «optimale» Lösung ist?

Ich habe das Wort «optimal» im vorherigen Abschnitt bewusst in Anführungszeichen gesetzt, weil jeder Parametersatz einen Kompromiss darstellt zwischen einzelnen, oft einander widersprechenden Optimierungskriterien, deren jeweilige Gewichtung man lange diskutieren könnte. Was ich nicht tun werde. Trotzdem möchte ich einige dieser Kriterien aufzeigen:

• Gewicht (möglichst klein)
• Bauraum (möglichst gering)
• Kleinster Nockenradius (darf die Wandstärke der hohlgebohrten Nockenwelle nicht unzulässig schwächen)
• Kräfte (möglichst gering)
• kein Hinterschnitt! (Schleifenbildung in Rollenmittelpunktsbahn oder Kontur; Hinterschnitt tritt z.B. auf, wenn der Radius der abtastenden Rolle größer wird als der Krümmungsradius der Rollenmittelpunktsbahn einer Kontur)
• Minimierung der Hertz’schen Pressungen beim Kontakt gekrümmter Oberflächen durch Vermeidung von Spitzenbildung oder sehr kleinen Radien in Kontur und/oder Rollen
• Optimierung von Eingriffswinkeln bei der Kraftübertragung zwischen je zwei Getriebegliedern (Eingriffswinkel während einer Periode möglichst wenig von 90° abweichend)
• u.s.w.

Und dann gibt es noch technologische Kriterien, wie z.B.:

• Öffnungszeitquerschnitte der Ventile (möglichst maximal)
• Kollisionsvermeidung zwischen Ventil und Kolben
• Ansaugkanäle (möglichst geradlinig)
• Brennraum (möglichst kompakt)
• u.s.w.

Nicht zu vergessen: ökonomische Kriterien:

• Fertigungskosten (möglichst günstig)
• Wartungsintervalle (möglichst lang)
• Wartungskosten (je nach dem, wen man fragt 😉
• etc.

Mein persönliches Fazit

Nachdem ich mir den Testastretta Evoluzione Zylinderkopf einmal in der vorliegenden Detailtiefe angeschaut habe, ist mein enormer Respekt vor der Leistung Fabio Taglionis nochmals ein erhebliches Stück angewachsen. Insbesondere wenn man bedenkt, daß er bereits vor 65 Jahren das Konzept der desmodromischen Ventilsteuerung ohne Computerunterstützung, alleine mit der Kraft seiner Fantasie!, am Zeichenbrett zur Weltmeisterschaftsreife brachte.

Jedenfalls wird das Grinsen unter meinem Helm beim Anlassen meiner Monster zukünftig nochmals ein Stück breiter ausfallen. 😎

Update 19.01.2023:

Inzwischen nutze ich die Berechnungsergebnisse aus dem «Desmo Lab» zur Perfektionierung meiner Interaktiven 3D Animation des desmodromischen Ventiltriebs eines Testastrette Evoluzione Vierventil-Zylinderkopfs. Auf der Einlassseite nutze ich nun die hier berechneten, optimalen Positionen für Schlepp- und Kipphebelachsen. Für die Nockenkonturen verwende ich jeweils geschlossene Splines mit im «Desmo Lab» hochgenau berechneten 200 Stützstellen. Motivation und Ausführung beschreibe ich in meinem Beitrag «Pimp my Desmo».