Ungefederte Massen

In meinem interaktiven Feder-Rechner und auch im interaktiven Federbein-Simulator hatte ich jeweils die Ungefederten Massen erwähnt, welche bei einer Gleichgewichtsbetrachtung (statisch) am Federbein zu berücksichtigen, d.h.: herausgerechnet werden müssen.

Gefederte (mg) und ungefederte (mu) Massen am Federbein (Federsteifigleit cf, Dämpfungskonstante df). Massen flächentreu dargestellt, für Monster 1200S und Fahrer mit Abfahrgewicht von 80 kg.

Das heisst aber nicht, daß die Ungefederten Massen für die Dynamik der Radaufhängung irrelevant sind. Ganz im Gegenteil. Um diesen scheinbaren Widerspruch aufzulösen, muss man sich daran erinnern, daß das Federbein zwei Enden hat, siehe obige Skizze:

  1. nach oben stützt das Federbein die Gefederten Massen des Motorrads plus die anteiligen Fahrermassen ab.
  2. nach unten stützen sich die Ungefederten Massen gegenüber den etwa vierfach größeren Gefederten Massen des Motorrads plus anteilige Fahrermasse ab.

Natürlich schwebt das Ganze nicht im luftleeren Raum. So wird die Dynamik per Fußpunktanregung (Weganregung) über den Reifen (Reifensteifigkeit „cr„, Reifendämpfung „dr„) in das eingangs vorgestellte schwingungsfähige System eingeleitet.

Und damit sind wir schon bei einem entscheidenden Detail:

Die Einfederung erfolgt erzwungen, formschlüssig, und zwar mit einer Einfederungsgeschwindigkeit, welche alleine von der Steilheit der aufsteigenden Flanke der Fahrbahnunebenheit, sowie der horizontalen Fahrgeschwindigkeit abhängt, mit der diese Fahrbahnunebenheit überfahren wird. Die Einfederungsgeschwindigkeit kann quasi beliebig hoch werden, und wird nur von der Festigkeit der beteiligten Bauteile (und der Bandscheiben des Fahrers) begrenzt.

Die Ausfederung erfolgt hingegen mit einer nach oben begrenzten, maximalen Ausfederungsgeschwindigkeit, die alleine von der Federsteifigkeit und der schwingenden Masse abhängt, und von der horizontalen Fahrzeuggeschwindigkeit oder Steilheit der abfallenden Flanke einer Fahrbahnunebenheit allenfalls verlangsamt, jedoch niemals beschleunigt wird.

Insofern ist der Begriff „Ungefederte Masse“ ein ausgesprochen Fahrer-zentrierter: auch die „ungefederten Massen“ bilden mit dem Federbein ein schwingungsfähiges System, welches man als Fahrer alleine unter Komfort-Gesichtspunkten häufig zu ignorieren neigt.

Man kann für jede einzelne Fahrbahnunebenheit, insbesondere charakterisiert durch die Steilheit der abfallenden Flanke, eine kritische horizontale Fahrzeuggeschwindigkeit ermitteln, bis zu der das Rad auf der abfallenden Flanke sauber abrollen wird. Wenn diese kritische Fahrzeuggeschwindigkeit überschritten wird, kann das Rad der schneller abfallenden Flanke nicht folgen und verliert den Bodenkontakt.

Das Problem ist technisch gleichartig zu einem herkömmlichen, d.h.: nicht-desmodromischen Ventiltrieb, bei dem die bewegte Masse eines schliessenden Ventils der abfallenden Flanke einer immer schneller drehende Nockenwelle oberhalb einer kritischen Drehzahl nicht mehr folgen kann – das Ventil beginnt dann zu „flattern“.

Natürlich lässt sich diese Grenze berechnen, sonst würde ich vermutlich nicht darüber schreiben.

So besitzt jedes Schwingungsfähige System eine Eigen(kreis)frequenz, in der es nach einer einmaligen Anregung von alleine schwingt. Diese Eigenkreisfrequenz lässt sich berechnen, als Funktion von Federsteifigkeit und schwingender Masse im Fall einer ungedämpften Schwingung:

mit der Eigenkreisfrequenz Omega_Null einer ungedämpften Schwingung gleich der Wurzel aus Federsteifigkeit „c“ in [N/m] durch Masse „m“ in [kg].

Da wir es mit einer gedämpften Schwingung zu tun haben, mit einem Dämpfungsgrad von „delta“

Dämpfungsgrad delta, mit „d“ = Dämpfungskonstante, „m“ = Masse

können wir die Eigenkreisfrequenz einer gedämpften Schwingung berechnen als

Die Eigenkreisfrequenz einer gedämpften Schwingung reduziert sich demnach bei nicht zu starker Dämpfung geringfügig – das gedämpfte System schwingt etwas „langsamer“. Das nur der Vollständigkeit halber.

Damit wir von dem sperrigen Begriff „Eigenkreisfrequenz“ weg kommen und zum anschaulicheren Begriff der Frequenz kommen (wie oft schwingt ein System innerhalb einer Sekunde hin und her, Einheit [Hz]), müssen wir die Eigenkreisfrequenz lediglich durch den Faktor 2*PI dividieren.

Und wenn wir dann noch den Kehrwert der so erhaltenen Frequenz nehmen, nämlich die Periodendauer „T“ der Schwingung [sec], sind wir für alle weiterführenden Betrachtungen in diesem Artikel weit genug.

Periodendauer T [s] bei ungedämpfter Schwingung einer Masse m [kg] an einer Feder mit Federrate c [N/m]

Im vorliegenden Fall, Ducati Monster 1200S (Bj. 2014-2016) hatte ich in einem früheren Beitrag die ungefederten Massen der Hinterradaufhängung zu 26 kg ermittelt. Und weil die Massen an einem 2.5-fachen Hebelarm wie das Federbein angreifen, wirken sie auch 2.5-fach.

Mit der serienmäßigen Federrate des Federbeins von 115 N/mm (= 115’000 N/m) kommt man für den günstigsten Fall einer ungedämpften Ausfederung auf eine Periodendauer von

Also knappe fünfzehn Hundertstelsekunde für eine volle Periode. Eigentlich interessiert uns nur das erste Viertel hiervon, von voller Einfederung bis zurück zur Nulllage.

Nun ist diese Monster eine recht moderne und ausgefeilte Konstruktion, welche bereits ab Werk ziemlich Gewichts-optimiert daher kommt. Hier die Ungefederten Massen nennenswert zu reduzieren, dürfte schon richtig ins Geld gehen. Tun wir trotzdem mal so, als ob wir uns darum keine Sorgen machen müssten.

Was würde es „bringen„, die Ungefederten Massen auf 90% ihres serienmäßigen Werts zu drücken, also auf 23,4 kg? Rechnen wir doch mal nach:

Wie man unschwer nachrechnen kann, wurde zwar die Masse auf 90% reduziert, allerdings ging die Periodendauer nur auf Wurzel(0.9), d.h. auf 94.8% des ursprünglichen Werts zurück.

In vorstellbaren Größen ausgedrückt:

Stellen wir uns vor, wir hätten in langwierigen Fahrversuchen eine Test-Bodenwelle identifiziert, die wir mit der serienmäßigen Monster so gerade eben noch mit exakt 50 km/h überfahren können, ohne daß das Hinterrad abhebt. Diese Bodenwelle müsste demnach eine abfallende Flanke der (horizontalen) Länge von 0.517 m aufweisen.

Mit einer um 10% reduzierten Ungefederten Masse könnten wir diese Bodenwelle nun anstatt mit maximal 50.0 km/h mit bis zu 52.7 km/h überfahren, bevor das Hinterrad den Bodenkontakt verliert.

Könnten wir denn wenigstens auf 94.8% reduzierte Rundenzeiten erwarten? Leider auch nicht. Denn der Vorteil der um 5.2% erhöhten kritischen Geschwindigkeit würde ausschließlich beim Überfahren von Bodenwellen greifen, die wir nur wegen des vorzeitigen Erreichens der kritischen Schwelle serienmäßig nicht schneller durchfahren konnten. Also eher selten.

Übrigens kann man den gleichen Effekt einer um 10% reduzierten Ungefederten Masse auch durch eine um 11.11 % erhöhten Federsteifigkeit erreichen – zu vermutlich einem Bruchteil der Kosten 😉 bei allerdings reduziertem Komfort für den Fahrer.

Wer das ganze im Interaktiven Federbein-Simulator ausprobieren möchte, gibt im Feld „Gefederte Massen“ einfach den Zielwert der „Ungefederten Massen“ ein, und setzt die Fahrermasse zu Null kg an:

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