«Jarne» Kurvenscheibe

Parallel zum Bau des realen Flammenfressers «Jarne» erstelle ich auch zu diesem Projekt wieder eine Interaktive 3D-Animation, wie bei «Danni» auch schon.

Jarnes Kurvenscheibe («Exzenter») – ein kniffliges Problem!

Dabei hat mir die Umsetzung der Exzenter-Steuerung für den Schieber, welcher das Feuerloch im Zylinderkopf von «Jarne» periodisch öffnet und verschliesst, unerwartet viel Gehirnschmalz abverlangt.

Offensichtlich handelt es sich bei dem in der Stückliste «Exzenter» genannten Bauteil 31 um eine genutete Kurvenscheibe – wenn man so will eine desmodromische Zwangssteuerung des Exzenter-Hebels (Teil 16), dessen Abtaststift (Exzenterdorn, Teil 27) in die Nut der Kurvenscheibe eingreift. Durch die beidseitige Führung in der Nut wird der Exzenterdorn während eines Umlaufs der Kurbelwelle / des Exzenters sowohl nach aussen (auf einen grösseren Radius des Exzenters) gedrückt, als auch nach innen (auf einen kleineren Radius des Exzenters) gezogen.

Die Schwierigkeiten bei der Modellierung der Kurvenscheibe sind zweierlei:

  1. Mathematisch exakte Modellierung der Kurvenscheibengeometrie, z.B. in Polarkoordinaten
  2. korrekte Berechnung des Schwingwinkels des Exzenter-Hebels in Abhängigkeit von der Kurvenscheiben-Winkellage.

Modellierung der Kurvenscheibengeometrie

Mit der Methode des «scharfen Hinsehens» erkennt man, dass diese Kurvenscheibe eine Rast-in-Rast Bewegung kodiert. Das Abtast- bzw. Abtriebsglied bleibt während zweier Winkelintervalle der Kurvenscheibendrehung in Ruhe, während sich die Kurvenscheibe mit konstanter Winkelgeschwindigkeit dreht. Man erkennt dies daran, dass die Kurvenscheibenkontur zwei zur Kurvenscheibendrehachse konzentrische Kreisbögen unterschiedlicher Radien aufweist (in der folgenden Grafik magenta eingezeichnet). Die Übergänge zwischen den beiden unterschiedlichen Niveaus sind aus Kreisbögen (schwarz) und Geradenstücken (grün) zusammengesetzt, mit tangentialen Übergängen zwischen je zwei benachbarten Elementen.

Die Kurvenscheibe rotiert um eine gestellfeste Achse durch den Ursprung des Koordinatensystems. Das sieht etwa so aus:

Exzenter-Kontur aus Kreisbögen und Geraden mit jeweils tangentialen Übergängen

Die Beliebtheit (oder zumindest: Häufigkeit) derartiger Kurvenscheibenkonstruktionen aus Kreisbögen und Geradenabschnitten liegt darin begründet, dass sich deren Konturen leicht in CAD-Systemen zeichnen lassen. Und sich andererseits ähnlich leicht in CNC-Systemen programmieren lassen.

Der Nachteil derartiger Konstruktionen liegt allerdings in ihren sub-optimalen dynamischen Eigenschaften, weil die resultierende Kontur an den Übergangsstellen zwischen Geraden und Kreisbögen, oder auch zwischen Kreisbögen unterschiedlicher Radien, unstetige (d.h.: sprunghafte) Krümmungsübergänge aufweist, welche zu Beschleunigungssprüngen, theoretisch unendlich grossen Kräften und jedenfalls zu einer Schwingungsanregung (Geräusch!) führen. Bei «Jarne» handelt es sich aber um eine langsam laufende Maschine, so dass derartige Aspekte nicht allzu gross ins Gewicht fallen sollten. Schaue ich mir ggf. später einmal genauer an.

Hinweis:
Herr Bengs verkauft mit dem Bausatz «Jarne» das benötigte Material inkl. vorgefräster Bauteile, eine Bauanleitung, einen Satz technischer Zeichnungen sowie die Lizenz zum Nachbau eines (1) Exemplars von «Jarne». Es dürfte einleuchten, dass Herr Bengs nicht möchte, dass jemand Nachbauten in Umlauf bringt und ihm mit seiner eigenen Konstruktion Konkurrenz macht. Aus vermutlich diesem Grund sind die mitgelieferten technischen Zeichnungen «unkonventionell» und unvollständig bemasst, und eignen sich aus sich heraus nicht zur Nachfertigung, sondern allenfalls zur Wiedererkennung von Bauteilen. Ich möchte Herrn Bengs da nicht in den Rücken fallen und Informationen veröffentlichen, die er absichtlich lückenhaft halten wollte. Aus diesem Grund vermeide ich es, konkrete Masse zu nennen und werde nur in allgemeiner Form mein Vorgehen beschreiben.

Natürlich habe ich für meine Zwecke die folgenden vier Masse mittels Schieblehre, Geodreieck und Augenmass eben doch ermitteln müssen:

  1. Ri : innerer Radius
  2. Ra : äusserer Radius
  3. : Übergangsradius
  4. 𝞪 : zwischen den Geradenabschnitten (grün) eingeschlossener Winkel

Mit diesen vier Werten lässt sich die Kurvenscheibe (und auch Varianten dieses Typs) vollständig(!) beschreiben

Gemessene und abgeleitete Grössen an Jarnes Rast-in-Rast Kurvenscheibe

Aus den obigen Eckwerten lassen sich z.B. die Mittelpunktskoordinaten des unteren Übergangskreisbogens (schwarz) mittels des blau eingezeichneten rechtwinkligen Dreiecks berechnen:

Länge GegenkatheteRi – Rü
Länge HypothenuseRa – Rü
Winkel 𝛄ASIN ( Gegenkathete / Hypothenuse )
AnkatheteHypothenuse * COS ( 𝛄 )
Länge der Übergangsgeraden (grün)Ankathete
Bestimmung der Mittelpunktskoordinaten für den unteren Übergangskreisbogen

Die Mittelpunktskoordinaten des unteren Übergangskreisbogens (schwarz) lauten demnach: (Ankathete, Gegenkathete). Die Mittelpunktskoordinaten des oberen Übergangskreisbogens lassen sich analog bestimmen.

Die reale Kurvenscheibe weist insgesamt drei ähnliche Kurvenformen auf:

  • innere Nutkontur
  • äussere Nutkontur
  • Bauteilkontur.

Derartige Varianten lassen sich mit gängigen CAD-Programmen als «Äquidistante» zu einer Referenzkontur erstellen.

Ich werde für den nächsten Schritt eine vierte, virtuelle Kurvenlinie einführen: die Mittelpunktsbahn des Fräsers, welcher die Nut aus dem Rohling herausgefräst hat, ebenfalls eine Äquidistante zu einer der oben genannten Kurven.

Berechnung des Schwingwinkels des Exzenter-Hebels in Abhängigkeit von der Kurvenscheiben-Winkellage

Der Exzenterhebel schwingt ebenfalls um eine gestellfeste Drehachse abseits vom Koordinatenursprung. Der Exzenterdorn und dessen Zylinderlängsachse schwingt somit auf einem Kreisbahnabschnitt um diese gestellfeste Drehachse hin und her. Der Radius dieser Kreisbahn ist durch die Bauteilabmessungen des Exzenterhebels vorgegeben und konstant.

Schnittpunkt der Fräsermittelpunktsbahn und der Kreisbahn des Exzenterdorms

Für die Erstellung einer realistischen Computeranimation benötige ich für jede beliebige Winkellage der Kurvenscheibe den zugehörigen Schwingwinkel des Exzenterhebels für einen exaktem Eingriff des Exzenterdorns in die Nut des Exzenters. Um einen mathematisch exakten Punkt zu erhalten, betrachte ich anstatt der Nut deren Fräsermittelpunktsbahn, und anstatt des Exzenterdorns die Kreisbahn, auf der sich dessen Längsachse bewegt.

Mathematisch erfordert dies die Ermittlung des Schnittpunkts zwischen der Kreisbahn, auf der sich die Längsachse des Exzenterdorns um die gestellfeste Drehachse des Exzenterhebels bewegt und dem jeweiligen Konturelement (Gerade, Kreisbogen) der Fräsermittelpunktsbahn, in das der gesuchte Schnittpunkt bei einer gegebenen Kurbelwellen- bzw. Exzenter-Winkellage fällt.

Der Algorithmus dazu gliedert sich in die folgenden Schritte:

  1. Mathematisch korrekte (formelmässige) Beschreibung der Kurvenscheibenkontur, alleine anhand der vier Eingabeparameter Innenradius, Aussenradius, Übergangsradius und (zwischen den Geradenabschnitten) eingeschlossener Winkel.
  2. Bestimmung des Konturelements (Gerade, Kreisbahn), in welches der Schnittpunkt bei einem von der Grundstellung aus gegebenen Verdrehwinkel der Kurvenscheibe fällt.

  1. Wenn das Konturelement (Gerade, Kreisbogen) anhand des Verdrehwinkelintervalls bestimmt ist, muss der gesuchte Schnittpunkt mathematisch exakt als Schnittpunkt Gerade-Kreisbogen, bzw. Kreisbogen-Kreisbogen berechnet werden.

Dabei kommt durchaus Mathematik ins Spiel. Am Beispiel des Schnittpunkts zwischen der (unteren, initial horizontalen) Geraden und dem Kreisbogen der Bahn des Exzenterdorns:

Der Ansatz:

Grundlage sind Geradengleichung und Kreisgleichung

Mit:

  • x, y : Koordinaten eines Punkts auf der Geraden, bzw. auf dem Kreis(bogen)
  • m: Geradensteigung, hier = tan( 𝞺 )
  • 𝞺 : Verdrehwinkel aus Ausgangslage (untere Gerade exakt horizontal)
  • b : Abschnitt, unter dem die Gerade die y-Achse schneidet
  • P0 : bekannter Punkt auf der Geraden. Hier: der Übergangspunkt zwischen Inneradius und unterer, horizontaler Geraden.
  • Mx, My: Koordinaten der Drehachse des Exzenterhebels.
  • Re: Augenabstand des Exzenterhebels

(1) ist die Geradengleichung, (4) ist die Kreisgleichung .

Das mathematische Wesen des gesuchten Schnittpunkts ist es, dass seine Koordinaten (x, y) gleichzeitig(!) sowohl die Geradengleichung als auch die Kreisgleichung erfüllen.

Die Berechnung:

Einsetzen von (3) in (4), Ausmultiplizieren und Zusammenfassen gleichartiger Terme führt auf die Normalform einer quadratischen Gleichung der Form (5):

Die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung werden mittels der Einigen noch aus der Schulzeit bekannten p-q-Formel (6) bestimmt:

Aufgrund der geometrischen Gegebenheiten (Drehachse des Exzenterhebels liegt links-unterhalb des Koordinatenursprungs) wähle ich grundsätzlich den grösseren der beiden x-Werte. Einsetzen in (1) liefert die gesuchte y-Koordinate des Schnittpunkts (Sx, Sy). Voilà!

Die Lösung:

Der gesuchte Schwingwinkel des Exzenterhebels ergibt sich somit (endlich) als

𝞫 = ATAN( (Sy – My) / (Sx – Mx) )

mit:

  • Sx, Sy: Koordinaten des berechneten Schnittpunkts
  • Mx, My: Koordinaten der Exzenterhebel Drehachse

Animation!

Ich habe meine obigen Erkenntnisse natürlich direkt in meine entstehende Animation eingebaut, deren aktuellen Stand man hier begutachten kann. Die Animation ist aktuell (Stand: 08.07.2024) meinem im Aufbau befindlichen physischen Modell ein gutes Stück voraus – Zeit, wieder mal ein paar Späne zu produzieren.

Schreiben Sie einen Kommentar

Ihre E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit * markiert